Python程式：計算可能的謙遜矩陣數量

假設我們有兩個值 n 和 m。我們需要找到 n x m 階的謙遜矩陣的排列數量。當矩陣滿足以下條件時，稱為謙遜矩陣：

• 它包含從 1 到 n x m 的每個元素，且每個元素只出現一次
• 對於任意兩個索引對 (i1, j1) 和 (i2, j2)，如果 (i1 + j1) < (i2 + j2)，則 Mat[i1, j1] < Mat[i2, j2] 應該成立。

如果答案過大，則返回結果模 10^9 + 7。

因此，如果輸入為 n = 2 m = 2，則輸出將為 2，因為存在兩個可能的矩陣 -

以及

為了解決這個問題，我們將遵循以下步驟：

• p := 10^9+7
• result := 一個值為 1 的列表
• 對於 x 從 2 到 10^6，執行以下操作：
  • temp := result 的最後一個元素
  • temp :=(temp*x) mod p
  • 將 temp 插入到 result 的末尾
• 如果 m > n，則：
  • temp := n
  • n := m
  • m := temp
• prod := 1
• 對於 x 從 1 到 m，執行以下操作：
  • prod :=(prod * result[x-1]) mod p
  • prod := (prod^2) mod p
• 對於 x 從 0 到 n - m，執行以下操作：
  • prod := (prod * result[m-1]) mod p
• 返回 prod

示例

讓我們看一下以下實現以獲得更好的理解：

p = 10**9+7

def solve(n, m):
   result = [1]
   for x in range(2,10**6+1):
      temp = result[-1]
      temp = (temp*x) % p
      result.append(temp)

   if(m > n):
      temp = n
      n = m
      m = temp
   prod = 1
   for x in range(1,m):
      prod = (prod * result[x-1]) % p
   prod = (prod**2) % p
   for x in range(n-m+1):
      prod = (prod*result[m-1]) % p
   return prod

n = 3
m = 3
print(solve(n, m))

輸入

3, 3

輸出

24

Arnab Chakraborty

更新於： 2021年10月23日

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