機率與統計符號

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引言

機率只是對實驗的一種有用的描述（以數學模型的形式），這些實驗的精確結果難以提前預測。當你拋硬幣時，很難提前知道是正面還是反面。當你無法預測確切結果時，通常有必要嘗試描述可能發生的每個結果，以及對哪些結果最可能發生的數值描述。你選擇的數值描述可以基於你的經驗、物理知識、簡化計算的方法或許多其他因素。

在這種情況下，我們可能會編輯記錄以提供分析和結論。

這種以更有意義的方式處理資料分析、解釋和顯示資料的概念就是統計學。在本教程中，我們將討論機率和統計符號。

機率：定義

機率是事件發生的可能性

$$\mathrm{機率(事件)\:=\:\frac{有利結果}{總結果}}$$

機率是成功的百分比。機率用於描述固定引數值的輸出函式。例如，如果你拋硬幣10次，它是一個公平的硬幣，那麼每次正面朝上的機率是多少？這可以用上述公式計算。

機率的性質

• 機率的範圍是從0到1

• 確定事件的機率將為一。

• 不可能事件的機率將為零(0)。

• 事件的總機率為1。

統計學

統計學是與研究相關的數學領域，它以特定方式收集、分析、解釋、呈現和組織資料。統計學被定義為收集資料、對其進行分類、以易於解釋的方式呈現資料，然後對其進行分析的過程。統計學也被稱為透過調查或實驗收集的結論性樣本資料。

在數理統計中，有兩種廣泛使用的資料分析方法。

描述性統計。

它用於描述收集的資料並總結資料及其特徵，以及集中趨勢和方差測量。

推論統計

這種統計技術用於得出資料的結論。推論統計需要對樣本進行統計檢驗，並透過識別兩組之間的差異來得出結論。

機率和統計中使用的符號

統計學處理各種資料。你可能感興趣的是找到資料集中最流行或最常用的專案。在這種情況下，我們可能會編輯記錄以提供分析和結論。這種處理資料分析、解釋和資料顯示比統計學更有意義的概念。

機率和統計符號列表

• $\mathrm{P(A\:\cap\:B)\:=\:事件A和B同時發生的機率}$

• $\mathrm{P(A)\:=\:事件A發生的機率}$

• $\mathrm{P(A\:|\:B)\:=\:給定事件B發生的情況下，事件A發生的機率}$

• $\mathrm{P(A\:\cup\:B)\:=\:事件A或B發生的機率}$

• $\mathrm{std\:(X)\:=\:S.D\:=\:隨機變數X的標準差}$

• $\mathrm{\sigma^{2}\:=\:總體值的方差}$

• $\mathrm{\sigma_{x}\:=\:隨機變數X的標準差}$

機率分佈表與頻率分佈表

機率分佈

它提供了任何隨機事件的可能結果。它也被定義為基於底層樣本空間的隨機實驗的一組可能結果。這些設定可以是一組實數、一組向量或任何一組實體。它是機率和統計的一部分。

頻率分佈

它顯示了分類為互斥類別的資料的彙總組以及該類中出現的次數。這是一種顯示不連續資料的方法，特別是為了顯示選舉結果、特定地區的人口收入等。

機率中的期望值與統計學中的平均值

機率中的期望值

它等於每個可能結果及其機率的乘積之和，並表示為期望值表示式。如果每個結果發生的機率相同，則期望值是所有結果的算術平均值。機率和統計使用期望公式來找到用E(x)表示的隨機變數X的平均值。這也被稱為平均值、均值或第一矩。

統計中的平均值

在統計學中，特定觀測值的平均值（均值）將等於資料集中所有給定觀測值的總和除以資料集中給定觀測值的總數。但是，一般的程式和公式取決於指定的資料型別、分組資料或未分組資料。

機率與統計中的方差和標準差

在機率論和統計學中，方差是隨機變數相對於總體或樣本均值的偏差平方的期望值。方差是離散程度的度量。換句話說，它是衡量一組數字與平均值相差多遠的指標。

方差是一種統計量度，用於確定資料集中的數字相對於均值或平均值的離散程度。標準差的平方表示方差。使用方差來評估分佈的伸展或壓縮程度。

統計中有兩種型別的方差：樣本方差和總體方差。方差的符號由𝜎2表示。

$$\mathrm{\sigma^{2}\:=\:\frac{\Sigma\:(x_{i}\:-\:x)^{2}}{n\:-\:1}\:其中x_{i}\:=\:一個觀測值}$$}

$\mathrm{\overline{x}}$=所有觀測值的平均值

n = 觀測值個數

在統計學和機率論中，給定變數的標準差是給定變數相對於均值的平均距離。這顯示了隨機變數如何分佈在均值附近。標準差小表示變數分佈接近均值。

$$\mathrm{標準差\:=\:\sqrt{\frac{\Sigma(x_{i}\:-\:\underline{x})^{2}}{n\:-\:1}}}$$

例題

1)求下列數字的平均值。$\mathrm{1\:,\:1\:+\:x\:,\:1\:+\:2x\:,\:+\:...........\:+\:1\:+\:100x}$。

答案 - 給定數字為，$\mathrm{1\:,\:1\:+\:x\:,\:1\:+\:2x\:,\:+\:...........\:+\:1\:+\:100x}$

項總數，n= 101

$$\mathrm{平均值(\overline{x})\:=\:\frac{1\:,\:1\:+\:x\:,\:1\:+\:2x\:,\:+\:...........\:+\:1\:+\:100x}{101}}$$

$$\mathrm{=\:\frac{1}{101}\times\:\frac{101}{2}\:[1\:+\:(1\:+\:100x)]}$$

$$\mathrm{=\:1\:+\:50x}$$

2) 求方差和標準差之間的關係。

答案 - 我們知道標準差$\mathrm{=\:\sqrt{\frac{\Sigma\:(x_{i}\:-\:\overline{x})^{2}}{n\:-\:1}}}$ 和方差$\mathrm{=\:\frac{\Sigma\:(x_{i}\:-\:\overline{x})^{2}}{n\:-\:1}}$

對標準差平方後得到方差，因此，

$$\mathrm{標準差\:=\:\sqrt{方差}}$$

3)在公平的骰子上擲出5的機率是多少？

答案 - 令A表示事件“擲出5”。

根據題意，樣本空間將為$\mathrm{\lbrace\:1\:,\:2\:,\:3\:,\:4\:,\:5\:,\:6\:\rbrace}$

$$\mathrm{P(A)\:=\:\frac{1}{6}}$$

4) 給定你已經擲出了偶數，在公平的骰子上擲出2的機率是多少？

答案 - 你會注意到樣本空間現在已減少到S'={2,4,6}。假設B為事件“擲出偶數”，則機率現在為：

$$\mathrm{P(A給定B)\:=\:\frac{1}{3}}$$

5)如果方差為36，則標準差是多少？

答案 - 我們知道$$\mathrm{\mathrm{標準差\:=\:\sqrt{方差}}}$$

$$\mathrm{標準差\:=\:\sqrt{36}}$$

$$\mathrm{標準差\:=\:6}$$

結論

機率是事件發生的可能性。機率用於描述固定引數值的輸出函式。統計學被定義為收集資料、對其進行分類、以易於解釋的方式呈現資料，然後對其進行分析的過程。

常見問題

1. 什麼是機率？

機率是事件發生的可能性。

2. 什麼是方差？

方差是一種統計量度，用於確定資料集中的數字相對於均值或平均值的離散程度。標準差的平方表示方差。

3. 統計學的用途是什麼？

統計學是對資料的學習，即如何收集、總結和呈現資料。

4. 什麼是機率分佈？

在統計學中，機率分佈表示隨機實驗或事件的每個結果的可能性。

5. 什麼是樣本空間？

它被定義為所有可能結果的集合。換句話說，樣本空間可以被稱為隨機實驗中所有可能結果的集合。