電場中的勢能

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引言

本教程的背景設定在一個電場E 和一個外部電源 V 中，其中電荷用 Q 表示。外部電源對電荷的影響，它與電場 E 的關係，以及這些實驗的結果值得考慮。電荷試圖在電場中保持一個位置，因此獲得了勢能。我們對電荷在這樣的電場中的勢能感興趣。

什麼是勢能？

• “勢”這個詞表示某種東西的儲存形式。壓縮的彈簧中儲存著勢能。

• 施加在彈簧上的外力導致彈簧壓縮並鎖定在該位移處，轉化為彈簧內部的勢能。

• 放置在一定高度的物體由於其高度而儲存在其內部的勢能。勢能儲存在物體中。在運動過程中，勢能釋放為動能。

• 如果 x 是由於外力導致的彈簧的位移，那麼儲存在彈簧中的勢能為 PE=1/2 K x²，其中 K 是彈簧常數。

• 對於一個高度為 h、質量為 m 的物體，如果它掉落到地面並在地面附近獲得速度 v，那麼我們可以透過公式 mg=1/2mv² 看到勢能是如何與動能守恆的。

例題 1

一個彈簧被拉伸到 15 釐米（位移）。彈簧的彈簧常數為 2 N/m。求儲存在彈簧中的勢能。

答：PE=1/2 K x² =1/2×2×{0.15}²=0.0225=22.5×10^-3 焦耳

例題 2

假設一個球最初位於 200 米的高度。它的重量為 2 公斤。它被直接掉落到地面，並在重力作用下下落。計算球體在最接近地面點處的速度。

答：當球體下落時，PE 轉換為KE。在即將撞擊地面之前，PE 完全轉換為 KE，而 PE 變為零。

PE=mgh=2×10×200=4000 焦耳（g=10m/s²）

$$\mathrm{KE=4000=1/2 m v^2}$$

$$\mathrm{mv^2=8000; v = 63.24 m/s}$$

圖解示例

下圖顯示了勢能的釋放和守恆，精確到數值。

單個電荷在電場中的勢能是多少？

外部電場 E 和外部電勢 V 取決於電荷在電場中的位置。在某一點 P，帶電粒子的勢能是從無限遠處將一個帶正電的粒子帶到該點所做的功。如果 q 是電荷，V 是電勢，那麼放置帶電粒子的努力是 qV。如果 r 是位置向量，則功將是 qV(r)。

所以 PE = 所做的功 = qV(r)

兩個電荷在電場中的勢能是多少？

當電場中存在兩個電荷時，我們必須考慮兩個帶電粒子的電勢加上一個帶電粒子對另一個帶電粒子的影響。下面給出了四個電荷的示意圖作為參考。在這種情況下，我們只需要考慮 q1 和 q2、E1 和 E2。n 個電荷和 n 個電場的情況以及計算合能量始終具有挑戰性。以後再嘗試。

第一個電荷 $\mathrm{q_1}$ 在點 $\mathrm{r_1}$ 處所做的功為 $\mathrm{q_1 V(r_1)}$

第二個電荷 $\mathrm{q_2}$ 在點 $\mathrm{r_2}$ 處所做的功為 $\mathrm{q_2 V(r_2)}$

由於 $\mathrm{q_1}$ 對 $\mathrm{q_2}$ 所做的功為 $\mathrm{q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})}$

$\mathrm{q_2}$ 所做的功為 $\mathrm{q_2 V(r_2)+q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})}$

所以 PE = 總功 =$\mathrm{q_1 V(r_1)+q_2 V(r_2)+q_1 q_2/(4\pi \varepsilon_0 r_{12})} $

結論

本教程深入探討了主題，重點關注帶電粒子在外部電場中的勢能。提供了足夠的示例以方便指導，同時上下文包含相關的公式。作為對後續主題的介紹，提供了關於勢能的概念及其與動能的關係以及兩者如何根據守恆定律守恆的要點。在電場中放置一個電荷所做的功將是電荷及其位置向量的函式，這一點得到了強調。在一個單獨的部分中分別考慮了兩個電荷及其總勢能的情況和相應的方程。透過影像提供了 PE 到 KE 的轉換，以瞭解勢能在應用中的用途。

常見問題

1. 勢能在哪些不同的形式中表現出來？

當材料拉伸或壓縮時，會產生彈性勢能。橡皮筋、彈簧和彈弓就是例子。電勢能是以電荷形式儲存的能量。核材料在其原子內部儲存勢能。車輛的燃料以化學形式儲存勢能。地球的重力能以物體的等效高度的形式儲存為勢能。

2. 什麼是重力燈？這與勢能有什麼關係？

重力燈是一種裝置，使用者需要在袋子中裝滿一些碎屑並將袋子的繩索連線到燈上。然後，必須手動將袋子提升到一定高度，並將其留給系統，讓它以緩慢的速度下降。在袋子移動期間，它會產生能量來點亮燈泡。當袋子在一定高度並帶有重量時，它會積累勢能，然後將其轉換為電能。

3. 電勢能的公式是什麼？

當電場中存在兩個電荷時，以下公式適用 $\mathrm{U_e=k(q_1 q_2/r)}$，其中 k 是庫侖常數（8.99×10⁹ Nm² C^-2），r 是電荷 q1 和 q2 之間的距離。

4. 勢能的量綱公式是什麼？

量綱公式為 M¹ L² T^-2。可以從勢能公式 PE = mgh 中看出其推導過程，其中 m 是質量，g 是重力加速度，h 是物體的垂直高度。m 的量綱為 M，g 的量綱為 L¹ T^-2，h 的量綱為 L。組合得到 M¹ L² T^-2。

5. 勢能的單位是什麼？

勢能以焦耳為單位測量。它與 kg m² s^-2 相同。由於 kg m s^-2 是牛頓，所以焦耳可以表示為牛頓米。

6. 勢能如何在水壩中得到利用？

由於水儲存在水壩中的高度，因此會積聚和儲存大量勢能。當允許水透過管道向下流動以驅動機械渦輪機發電時，該能量會轉換為機械能。使水位降低，這會增加其動能，然後轉換為機械運動。