求下列等差數列的前n項和：\( (x-y)^{2},\left(x^{2}+y^{2}\right),(x+y)^{2}, \ldots, \) (n項)

已知

已知等差數列為\( (x-y)^{2},\left(x^{2}+y^{2}\right),(x+y)^{2}, \ldots, \)

求解

我們需要求出給定等差數列的前n項和。
解

這裡：

\( a=(x-y)^{2}, d=x^{2}+y^{2}-(x-y)^{2}=x^{2}+ y^{2}-x^{2}-y^{2}+2 x y \)
\( \Rightarrow d=2 x y \)

${S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{n}{2}\left[2(x-y)^{2}+(n-1)(2 x y)\right]$

$=\frac{n}{2}\left[2(x-y)^{2}+2(n-1) x y\right]$

$=n\left[(x-y)^{2}+(n-1) x y\right]$

給定等差數列的前n項和為 \(n[(x-y)^2 + (n-1)xy]\).

給定等差數列的前n項和是 $n[(x-y)^2+(n-1)xy]$。

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更新於：2022年10月10日

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