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法律學在 C++ 中查詢模數 p 下的平方根（香克斯託內利演算法）
本題給定兩個值 n 和素數 p，要求找出模數 p 下的平方根。
我們舉個例子來理解本題：
Input : n = 4, p = 11 Output : 9
求解方法
這裡，我們將使用託內利-香克斯演算法。
託內利-香克斯演算法用於模算術，以求解形式為 x2 = n (mod p) 的同餘方程中的 x。
使用香克斯託內利演算法求模平方根的演算法 −
步驟 1 − 求解 $(n^{((p-1)/2)})(mod\:p)$ 的值，如果其值為 p -1，則不存在模平方根。
步驟 2 − 然後，我們將 p - 1 作為 (s * 2e) 的值。其中 s 是奇數且為正數，e 為正數。
步驟 3 − 計算 q^((p-1)/2)(mod p) = -1
步驟 4 − 使用迴圈，使得 m 大於 0，更新 x 的值，
找到 m，使得 b^(2^m) - 1(mod p)，其中 0 <= m <= r-1。
如果 M 為 0，則返回 x，否則更新值，
x = x * (g^(2 ^ (r - m - 1)) b = b * (g^(2 ^ (r - m)) g = (g^(2 ^ (r - m - 1)) r = m
示例
演示我們求解方法的程式：
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int powerMod(int base, int exponent, int modulus) {
int result = 1;
base = base % modulus;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1)
result = (result * base)% modulus;
exponent = exponent >> 1;
base = (base * base) % modulus;
}
return result;
}
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
int orderValues(int p, int b) {
if (gcd(p, b) != 1) {
return -1;
}
int k = 3;
while (1) {
if (powerMod(b, k, p) == 1)
return k;
k++;
}
}
int findx2e(int x, int& e) {
e = 0;
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
e++;
}
return x;
}
int calcSquareRoot(int n, int p) {
if (gcd(n, p) != 1) {
return -1;
}
if (powerMod(n, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) {
return -1;
}
int s, e;
s = findx2e(p - 1, e);
int q;
for (q = 2; ; q++) {
if (powerMod(q, (p - 1) / 2, p) == (p - 1))
break;
}
int x = powerMod(n, (s + 1) / 2, p);
int b = powerMod(n, s, p);
int g = powerMod(q, s, p);
int r = e;
while (1) {
int m;
for (m = 0; m < r; m++) {
if (orderValues(p, b) == -1)
return -1;
if (orderValues(p, b) == pow(2, m))
break;
}
if (m == 0)
return x;
x = (x * powerMod(g, pow(2, r - m - 1), p)) % p;
g = powerMod(g, pow(2, r - m), p);
b = (b * g) % p;
if (b == 1)
return x;
r = m;
}
}
int main() {
int n = 3;
int p = 13;
int sqrtVal = calcSquareRoot(n, p);
if (sqrtVal == -1)
cout<<"Modular square root is not exist";
else
cout<<"Modular square root of the number is "<<sqrtVal;
}輸出
Modular square root of the number is 9
更新於:2022-1-25
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