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法律研究值域與範圍的區別
在數學中，函式在描述和建模各種現象中起著至關重要的作用。函式是一種規則，它為每個輸入值分配一個唯一的輸出值。輸入值的集合稱為定義域，輸出值的集合稱為值域。然而，在某些情況下，值域與陪域不同，這可能會導致混淆。在這篇文章中，我們將探討陪域和值域的區別。
函式的陪域
函式或關係的“陪域”是一組可能從中產生的值。它實際上是函式定義的一部分，但它限制了函式的輸出。例如，讓我們考慮函式表示法 f: R -> R。這意味著 f 是從實數到實數的函式。這裡，陪域是實數集 R 或從中產生的可能輸出的集合。
定義域也是實數集 R。在這裡，您還可以指定函式或關係以限制任何產生的負值輸出。簡單來說，陪域是函式值落入的集合。
設 N 為自然數集，關係定義為
R = {(x, y): y = 2x, x, y $ \epsilon $ N}
這裡，x 和 y 都是自然數。所以，
定義域 = N，並且
陪域 = N，即自然數集。
函式的值域
函式的“值域”指的是它產生的值的集合，或者簡單地說是其值的輸出集合。術語“值域”通常用作陪域，但是，從更廣泛的意義上說，該術語保留用於陪域的子集。簡單來說，值域是函式所有輸出值的集合，函式是定義域和值域之間的對應關係。
在傳統的集合論中，值域指的是函式的像集或陪域。在現代數學中，“值域”經常用來指函式的像集。較舊的書籍將值域指現在稱為陪域的內容，而現代書籍通常使用術語“值域”來指現在稱為像集的內容。大多數書籍根本不使用“值域”一詞，以完全避免混淆。
例如，設 A = {1, 2, 3, 4} 和 B = {1, 4, 9, 25, 64}。函式 f: A -> B 由 f (x) = x^2 定義。因此，這裡集合 A 是定義域，集合 B 是陪域，值域 = {1, 4, 9}。值域是 A 的平方，如函式所定義，但 4 的平方（即 16）既不存在於陪域也不存在於值域中。
差異：陪域和值域
為了理解值域和陪域之間的區別，讓我們考慮一個例子。假設我們有一個函式“f”，它將每個實數“x”對映到其平方，f(x) = x^2。f 的定義域是所有實數的集合，值域是所有非負實數的集合。但是，“f”的陪域也是所有實數的集合，因為對於任何實數 x，“f(x)”可以取任何實數值，無論它是否實際上是由“f”產生的。
另一個需要考慮的例子是一個函式“g”，它將每個實數“x”對映到其平方根，g(x) = sqrt(x)。“g”的定義域是非負實數的集合，值域是非負實數的集合。但是，“g”的陪域是非負實數的集合，因為對於任何非負實數“x”，“g(x)”可以取任何非負實數值，無論它是否實際上是由“g”產生的。
從這些例子中，我們可以看出值域總是陪域的子集。也就是說，值域是函式實際產生的值的集合，而陪域是函式可能產生的值的集合。值域由函式本身決定，而陪域是函式的一個屬性，它獨立於函式的實際輸出值。
值域和陪域之間這種差異的一個重要結果是，一個函式可以有多個陪域，但只能有一個值域。例如，再次考慮函式 f(x) = x^2。我們已經看到 f 的值域是所有非負實數的集合。但是，我們也可以定義一個具有不同陪域的新函式 g(x) = x^2，例如所有複數的集合。在這種情況下，g 的值域仍然是所有非負實數的集合，但陪域將不同。
特徵 |
陪域 |
值域 |
|---|---|---|
| 定義 | 這兩個術語都與函式的輸出有關，但差異很細微。雖然函式的陪域是可能從中產生的值的集合，但它實際上是函式定義的一部分，但它限制了函式的輸出。 |
另一方面，函式的值域指的是它實際產生的值的集合。 |
| 目的 | 函式的陪域是一組包含值域但可能包含一些附加值的值。陪域的目的是限制函式的輸出。 |
值域有時難以指定，但可以指定包含整個值域的更大值集。函式的陪域有時與值域具有相同的用途。 |
| 示例 | 如果 A = {1, 2, 3, 4} 和 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，並且關係 f: A -> B 由 f (x) = x^2 定義，則陪域 = 集合 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，值域 = {1, 4, 9}。值域是集合 A 的平方，但 4 的平方（即 16）既不存在於集合 B（陪域）也不存在於值域中。 |
如果 A = {1, 2, 3, 4} 和 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，並且關係 f: A -> B 由 f (x) = x^2 定義，則陪域 = 集合 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，值域 = {1, 4, 9}。值域是集合 A 的平方，但 4 的平方（即 16）既不存在於集合 B（陪域）也不存在於值域中。 |
結論
總之，陪域和值域之間的區別是數學中的一個重要概念。值域是函式產生的所有實際輸出值的集合，而陪域是函式可能產生的所有可能輸出值的集合。值域是陪域的子集，一個函式可以有多個陪域，但只有一個值域。理解這種差異對於正確解釋和使用數學函式非常重要。
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