座標幾何-9年級

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引言

• 利用座標軸研究幾何圖形的方法稱為座標幾何。

• 像圓、橢圓、多邊形和直線這樣的圖形可以輕鬆地在座標軸上繪製和縮放。

• 此外，座標幾何有助於代數運算和研究幾何圖形的性質。

• 地球上的每個位置都有座標，這使得我們很容易在地圖上找到它們。

• 我們星球的座標系由被稱為經緯度的假想線組成。

• 我們有座標軸，水平的是x軸，垂直的是y軸，這類似於將點放在一張紙或平面上。

座標幾何

• 為了在二維平面上表示幾何圖形並瞭解它們的性質，座標幾何是數學的一個重要分支。

• 為了對座標幾何有一個基本的瞭解，我們將嘗試學習座標平面和點的座標。

• 座標平面由兩個平面組成。一個是水平平面，即x軸；另一個是垂直平面，即y軸，這兩個平面將平面分成四個象限。

• 這兩個平面相交的點是原點(0,0)。

• 該平面中的任何位置都表示為(x, y)，其中x和y分別表示距原點(0,0)的水平和垂直位置。

橫座標和縱座標

座標是一個地址，有助於在空間中定位一個點。在二維平面中，這些座標表示為(x, y)，或者座標被分為橫座標和縱座標。

• 橫座標− 在座標(x, y)中，x值稱為座標的橫座標，它是距原點的水平(x軸)距離

• 縱座標− 在座標(x, y)中，y值稱為座標的縱座標，它是距原點的垂直(y軸)距離。

座標軸

• 在數學中，用於進行或標記測量的線稱為座標軸。

• 座標平面的兩個重要座標軸是x軸和y軸。

• x軸是一條水平數軸，y軸是一條垂直數軸。

• 這兩條軸的垂直相交形成了座標平面。

• x軸和y軸也分別被稱為橫座標和縱座標。

象限

在座標平面中，我們有四個象限，因為x軸和y軸將平面分成四個部分，這些部分稱為象限。下圖顯示了標記為I、II、III和IV的四個象限及其座標符號。

座標的分配

為了在平面上分配點，我們需要座標。x座標表示點到y軸的距離，而y座標表示點到x軸的距離。

例如——如果我們要在座標平面上分配點(2,4)，那麼我們將沿正x方向移動2個單位，然後從那裡沿正y方向移動4個單位，因此我們到達了我們想要的位置，即(2,4)。

到座標軸的距離

到座標軸的距離是指座標點(x,y)到座標軸的距離，即x座標表示點到y軸的距離，y座標表示點到x軸的距離。

距離公式

要計算兩個給定點（例如(a,b)和(p, q)）之間的距離，必須找到這兩個給定點的x座標和y座標差的平方和的平方根。

$$\mathrm{D\:=\:\sqrt{(p\:-\:a)^{2}\:+\:(q\:-\:b)^{2}}}$$

例題

例1——座標(-2, 4)、(-3, -1)、(-1, 0)、(1,-2)和(-3, -5)分別屬於哪個象限或座標軸？為了檢查你的答案是否正確，請在笛卡爾平面上找到它們。

解答——

象限的符號如下：

象限I：( +, +)

象限II：( -, +)

象限III：( -, -)

象限IV：( +, -)

我們將給定的座標與上述象限符號進行匹配。

所以：

(-2, 4)：象限II，因為它符合規則( -, +)

(-3, -1)、(-3, -5)：象限III，因為它符合規則( -, -)

(1, -2)：象限IV，因為它符合規則( +, -)

(-1, 0) 不在任何象限中，而是在負x軸上。

為了更清晰，請參考下圖。

例2——使用距離公式求點(-2,4)和(4,2)之間的距離。

解答——為了計算這兩個給定點之間的距離，我們將使用距離公式。其過程如下：點A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)之間的距離D由這兩個點的座標各個部分差的平方和的平方根給出。

$$\mathrm{D\:=\:\sqrt{(x_{2}\:-\:x_{1})^{2}\:+\:(y_{2}\:-\:y_{1})^{2}}}$$

代入這兩個點的相應值，我們得到：

$$\mathrm{D\:=\:\sqrt{(4\:-\:(-2))^{2}\:+\:(2\:-\:4)^{2}}}$$

化簡

$$\mathrm{D\:=\sqrt{36\:+\:4}\:=\:\sqrt{40}\:單位}$$

這兩個點之間的距離是√40個單位。

結論

• 座標平面由兩個平面組成。一個是水平平面，即x軸；另一個是垂直平面，即y軸。

• 該平面中的任何位置都表示為(x, y)，其中x和y分別表示距原點(0, 0)的水平和垂直位置。

• 在座標(x, y)中，x值稱為橫座標。

• 在座標(x, y)中，y值稱為縱座標。

• 在數學中，用於進行或標記測量的線稱為座標軸。

• 在座標平面中，我們有四個象限，因為x軸和y軸將平面分成四個部分，這些部分稱為象限。

• 到座標軸的距離是指座標點(x, y)到座標軸的距離。

常見問題

1. 座標是什麼？

平面中的任何位置都表示為(x, y)，其中x和y分別表示距原點(0, 0)的水平和垂直位置，而這個(x, y)稱為座標。

2. 座標平面有多少個象限？

在座標平面中，我們有四個象限，因為x軸和y軸將平面分成四個部分。

3. 什麼是橫座標？

在座標(x, y)中，x值稱為座標的橫座標，它是距原點的水平(x軸)距離。

4. 平面中到座標軸的距離是什麼？

到座標軸的距離是指座標點(x, y)到座標軸的距離，即x座標表示點到y軸的距離，y座標表示點到x軸的距離。

5. 什麼是縱座標？

在座標(x, y)中，y值稱為座標的縱座標，它是距原點的垂直(y軸)距離。