二進位制除法

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簡介

二進位制除法是一種將一個二進位制數除以另一個二進位制數的方法。二進位制數可以像普通數字一樣進行四種主要的算術運算：加法、除法、減法和乘法。

二進位制除法類似於十進位制數的除法，在十進位制數中，有 0 到 9 共 10 個數字。而在二進位制數中，只有兩個數字 0 和 1。長除法是二進位制除法中常用的一種重要方法。

定義

二進位制數

• “bi”表示“二”，因此，二進位制數是一種以 2 為基數的數字系統，用於表示數字。

• 二進位制數系統中的數字使用兩個數字（在計算機應用中稱為位）來表示：0 和 1。它們通常使用下標 2 來表示。

• 每一位都比它右邊的位重要兩倍。

• 十位上的位是單位位上的位的重要兩倍。類似地，百位上的位是十位上的位的重要兩倍。

• 例如，$\mathrm{(110)_{2}\:,\:(1010)_{2}}$ 等是二進位制數系統中的一些數字。

• 最右邊的 1 是最低有效位，最左邊的 1 是最高有效位。

如何在二進位制數系統中寫一個數字？

• 要在二進位制系統中寫一個數字，請將該數字除以 2，得到商和餘數。

• 現在，再次除以商，直到商為零，並記下每次除法的餘數，最後將所有餘數從最後得到的餘數到第一個餘數依次寫下來。

示例

讓我們看看如何將數字 5 轉換為二進位制數。

• 首先，將數字除以 2，餘數為 1，商為 2。

• 現在，再次將商除以 2，餘數為 0，商為 1。

• 現在，再次將商除以 2，餘數為 1，商為 0。

• 商為零，因此無需再次除以，現在將所有餘數從最後得到的餘數到第一個餘數依次寫下來，即 101。

• 因此，$\mathrm{5\:=\:(101)_{2}}$

二進位制除法

• 二進位制除法是一種將一個二進位制數除以另一個二進位制數的方法。被除數稱為被除數，除數稱為除數。

• 二進位制除法可以透過長除法或將二進位制數轉換為十進位制數、進行除法運算，並將結果轉換為二進位制數來完成。

長除法

• 第一步是比較除數和被除數，如果除數大於被除數，則在商中寫 0，並將被除數的第二位向下移。

• 如果除數小於被除數，則在商中寫 1，並將除數乘以 1，得到被減數，然後將其從被除數的被減數中減去得到餘數。

• 將下一位向下移，並繼續此過程，直到被除數被除盡。

規則

• 二進位制除法遵循與十進位制數除法類似的四個規則，當除數為零時，它是無意義的。

• 在二進位制數的情況下，只有兩個數字 0 和 1。

• 因此，二進位制減法中只有四種可能性，它們是

被除數	除數	結果
0	1	0
1	0	無意義
0	0	無意義
1	1	1

與十進位制值的比較

將二進位制數轉換為十進位制數

• 給定一個具有 𝑛 位的二進位制數，可以透過將最高有效位或最左邊的位 (MSB) 乘以 $\mathrm{2^{n\:-\:1}}$，並將 2 的冪每次向右移動一位減 1，以便最低有效位或最右邊的位 (LSB) 乘以 2 的 0 次冪，並將所有這些積相加得到十進位制數。

• 如果二進位制數有 𝑘 位，則其十進位制數為

$$\mathrm{=\:MSB\times\:2^{k\:-\:1}\:+\:(k\:-\:1)^{th}bit\:\times\:2^{k\:-\:2}\:+\:.....\:+\:LSB\times\:2^{0}}$$

兩個二進位制數可以透過將它們轉換為十進位制數、進行十進位制數的除法運算，並將結果轉換為二進位制數來進行除法運算。

例題

1) $\mathrm{110010\:\div\:101}$?

$$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:1010\\\:101)\overline{110010}\:\:\:\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{101}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:10\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{00}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:101\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{101}\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:00\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underline{00}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\\\\\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:0}$$

• 除數 101 小於被除數，因此，商為 1，並將除數乘以 1 得到 101，即被減數，然後將其從被除數的被減數 110 中減去得到餘數 1。

• 將下一位 0 向下移，現在除數 101 大於被除數 10，因此，在商中寫 0，並將下一位 1 移到被除數中。

• 現在，兩者相等。因此，乘以 1，餘數為零。

• 現在，將最後一位 0 向下移，並將除數乘以零，餘數為零。

• 被除數中的所有位都已處理完畢，餘數為零，商為 1010。

結論

在本教程中，我們學習了二進位制系統、二進位制除法、將十進位制數轉換為二進位制數、長除法、二進位制除法的規則、與十進位制值的比較、將二進位制數轉換為十進位制數以及一些例題。

常見問題

1. 除了長除法之外，二進位制除法的過程還有哪些？

除了長除法之外，還可以將被除數和除數轉換為十進位制數，進行除法運算，並將結果轉換為二進位制數。

2. 二進位制除法的四個規則是什麼？

二進位制除法的四個規則是：

$$\mathrm{1\div\:0\:=\:無意義\:,\:1\div\:1\:=\:1\:,\:0\div\:0\:=\:無意義\:,\:0\div\:1\:=\:0}$$

3. 如何將十進位制數轉換為二進位制數？

要將十進位制數轉換為二進位制數，請將該數字除以 2，得到商和餘數。現在，再次除以商，直到商為零，並記下每次除法的餘數，最後將所有餘數從先前得到的餘數到第一個餘數依次寫下來。這就是該數字的二進位制表示形式。

4. 二進位制數中的最低有效位和最高有效位是什麼？

最右邊的 1 是最低有效位，最左邊的 1 是最高有效位。

5. 將二進位制數轉換為十進位制數的公式是什麼？

如果二進位制數有 𝑘 位，則其十進位制數為

$$\mathrm{=\:MSB\times\:2^{k\:-\:1}\:+\:(k\:-\:1)^{th}bit\:\times\:2^{k\:-\:2}\:+\:.....\:+\:LSB\times\:2^{0}}$$