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法律研究在資訊安全中，為什麼我們要使用群、環和域？
群、環和域是抽象代數（或稱現代代數）這個數學分支的重要組成部分。在抽象代數中，它關注的是元素集合，並且可以在這些元素上進行代數運算；也就是說，它可以以多種方式組合集合中的兩個元素，並得到集合中的第三個元素。
群
群 (G) 用 {G,∙} 表示。它是一個元素的集合，帶有一個二元運算 ' ∙ '，滿足四個性質。群的性質如下：
封閉性 - 如果 a 和 b 是 G 的元素，則 c = a ∙ b 也是集合 G 的元素。這可以定義為在集合中任意兩個元素上使用運算的結果是集合中的另一個元素。
結合律 - 如果 a、b 和 c 是 G 的元素，則 (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)，這意味著在對兩個以上元素進行運算時，運算的順序不影響結果。
單位元 - 對於 G 中的所有 a，都存在 G 中的一個元素 e，使得 e ∙ a = a ∙ e = a。
逆元 - 對於 G 中的每個 a，都存在一個元素 a'，稱為 a 的逆元，使得 a ∙ a' = a' ∙ a = e。
如果一個群除了滿足上述四個性質外，還滿足交換律，則稱為阿貝爾群。
交換律 - 對於 G 中的所有 a 和 b，我們有 a ∙ b = b ∙ a。
環 - 環 R 用 {R, +, x} 表示。它是一個元素的集合，帶有兩個二元運算，稱為加法和乘法，對於 R 中的所有 a、b、c，以下公理都成立：
R 關於加法構成一個阿貝爾群，即 R 滿足性質 A1 到 A5。在加法群的方法中，它將單位元表示為 0，a 的逆元表示為 -a。
(M1)：乘法封閉性 - 如果 a 和 b 屬於 R，則 ab 也在 R 中。
(M2)：乘法結合律 - a(bc)=(ab)c，對於 R 中的所有 a、b、c 成立。
(M3)：分配律 -
a(b+c)=ab + ac，對於 R 中的所有 a、b、c 成立
(a+b)c=ac+bc，對於 R 中的所有 a、b、c 成立
(M4)：乘法交換律 - ab=ba，對於 R 中的所有 a、b 成立。
(M5)：乘法單位元 - R 中存在一個元素 1，使得 a1=1a，對於 R 中的所有 a 成立。
(M6)：無零因子 - 如果 a、b 在 R 中且 ab = 0，則 a = 0 或 b = 0。
域 - 域 F 用 {F, +, x} 表示。它是一個元素的集合，帶有兩個二元運算，稱為加法和乘法，對於 F 中的所有 a、b、c，以下公理都成立：
F1 是一個整環，即 F 滿足公理 A1 到 A5 和 M1 到 M6。
(M7)：乘法逆元 - 對於 F 中除 0 之外的每個 a，都存在 F 中的一個元素 a−1，使得 aa−1 = (a−1)a=1。
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