PEMDAS

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介紹

PEMDAS 指的是涉及多個數學運算的數學表示式的運算順序。在一個包含多個數學運算子或括號的算術表示式中，為了得到算術表示式的正確結果，需要遵循運算順序的優先順序，PEMDAS 就是一種運算順序的簡寫。運算順序的改變會改變算術表示式的結果。因此，必須嚴格遵循 PEMDAS 規則才能得到正確的結果。在英國，它被稱為 BODMAS；在加拿大，它被稱為 BEDMAS；在其他一些地方，它被稱為 GEMS 或 GEMDAS。

PEMDAS

PEMDAS 規則定義了在包含多個數學運算子或括號的算術表示式中，運算順序如下：首先計算括號內的項，然後計算指數項（平方、平方根、立方、立方根等），然後從左到右計算乘法或除法項，最後從左到右計算加法或減法項。如果括號內的項也涉及多個數學運算子，則遵循相同的規則。

以下句子可以幫助你記住 PEMDAS 規則的運算順序：Please Excuse My Dear Aunt Sally。（請原諒我親愛的莎莉阿姨）。句中單詞的首字母就是 PEMDAS。

下表按 PEMDAS 規則的優先順序從高到低列出了所涉及的運算。

PEMDAS	符號	名稱
P	[ ] 或 { } 或 ( )	括號
E	$\mathrm{x^{n}\:or\:^{n}\sqrt{x}}$ 其中 x 是數字，n 和 1/n 是指數的階數	指數
M 或 D	× 或 ÷	乘法或除法
A 或 S	+ 或 −	加法或減法

PEMDAS 規則應用

當算術表示式中包含多個數學運算或括號時，應用 PEMDAS 規則。運算順序從括號內的項開始，然後是指數項，然後是從左到右的乘法或除法項，最後是從左到右的加法或減法項。如果括號內包含多個數學運算，則對括號內的表示式遵循相同的 PEMDAS 規則，先計算最內層的括號，然後是指數項，然後是從左到右的乘法或除法項，最後是從左到右的加法或減法項。

P → 括號，計算括號內的表示式。大括號 { }、方括號 [ ]、小括號 ( ) 是大多數情況下使用的括號型別。

E → 指數，計算表示式中涉及指數項的部分。這些項通常是冪或根。例如：2³，⁴√16 等。

M 或 D → 乘法或除法，在進行加法或減法之前，從左到右計算表示式中涉及的乘法或除法項。先計算從左到右出現的運算。

A 或 S → 加法或減法，最後從左到右計算表示式中涉及的加法或減法項。先計算從左到右出現的運算。

PEMDAS 與 BODMAS

使用 PEMDAS 或 BODMAS，這兩個規則都能對包含多個數學運算或括號的算術表示式得出相同的結果。不同的國家使用不同的名稱，但結果都相同。

BODMAS 代表括號、順序、除法、乘法、加法和減法。當算術表示式中包含多個數學運算或括號時，應用此規則。運算順序從括號內的項開始，然後是順序項（冪或根），然後是從左到右的除法或乘法項，最後是從左到右的加法或減法項。如果括號內包含多個數學運算，則對括號內的表示式遵循相同的 BODMAS 規則，先計算最內層的括號，然後是指數項，然後是從左到右的乘法或除法項，最後是從左到右的加法或減法項。

B → 括號，計算括號內的表示式。大括號 { }、方括號 [ ]、小括號 ( ) 是大多數情況下使用的括號型別。

O → 順序，計算表示式中涉及數字順序的部分。這些項通常是冪或根。例如：4²，³√8 等。

D 或 M → 除法或乘法，在進行加法或減法之前，從左到右計算表示式中涉及的除法或乘法項。先計算從左到右出現的運算。

A 或 S → 加法或減法，最後從左到右計算表示式中涉及的加法或減法項。先計算從左到右出現的運算。

PEMDAS 和 BODMAS 的區別在於：PEMDAS 中的 P - Parentheses（括號）在 BODMAS 中被稱為 B - Brackets（括號）；PEMDAS 中的 E - Exponents（指數）在 BODMAS 中被稱為 O - Orders（順序）；PEMDAS 中的 MD - Multiplication or Division（乘法或除法）在 BODMAS 中被稱為 DM - Division or Multiplication（除法或乘法）。

PEMDAS	BODMAS
括號	括號
指數	順序
乘法	除法
除法	乘法
加法	加法
減法	減法

例題解析

1) 計算 $\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\:\div\:3}$？

答案 - 首先計算括號內的表示式 $\mathrm{6\:-\:4\:=\:2}$

表示式變為

$$\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\:\div\:3\Longrightarrow\:8\times\:2\:+\:9\:\div\:3}$$

接下來計算乘法，然後是除法，表示式變為

$$\mathrm{8\times\:2\:+\:9\:\div\:3\:\Longrightarrow\:16\:+\:9\div\:3}$$

$$\mathrm{16\:+\:9\div\:3\:\Longrightarrow\:16\:+\:3}$$

現在計算加法

$$\mathrm{16\:+\:3\:=\:19}$$

$$\mathrm{8\times\:(6\:-\:4)\:+\:9\div\:3\:=\:19}$$

2) 計算 $\mathrm{3\:+\:(6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2)\:\times\:2^{2}}$ ？

答案 - 首先計算括號內的表示式 $\mathrm{6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2}$

計算括號內的除法，然後是加法，然後是減法

$$\mathrm{6\div\:3\:+\:4\:-\:2\Longrightarrow\:2\:+\:4\:-\:2\Longrightarrow\:6\:-\:2\:=\:4}$$

$$\mathrm{3\:+\:(6\div\:3\:+\:4\:-\:2)\times\:2^{2}\:=\:3\:+\:4\times\:4}$$

現在計算指數表示式

$$\mathrm{3\:+4\:\times\:2^{2}\:=\:3\:+\:4\times\:4}$$

現在計算乘法

$$\mathrm{3\:+\:4\times\:4\:=\:3\:+\:16}$$

現在計算加法

$$\mathrm{3\:+\:16\:=\:19}$$

$$\mathrm{3\:+\:(6\:\div\:3\:+\:4\:-\:2)\:\times\:2^{2}\:=\:19}$$

結論

在本教程中，我們學習了 PEMDAS 規則、它的應用、BODMAS 規則、PEMDAS 與 BODMAS 的比較，以及一些涉及 PEMDAS 規則的示例。

常見問題

1. BODMAS 的全稱是什麼？

BODMAS 代表括號、順序、除法、乘法、加法和減法。

2. PEMDAS 的全稱是什麼？

PEMDAS 代表括號、指數、乘法、除法、加法和減法。

3. $\mathrm{18\div\:6\:+\:4}$ 的結果是多少？

首先計算除法，然後是加法 $\mathrm{18\:\div\:6\:+\:4\:=\:3\:+\:4\:=\:7}$

4. $\mathrm{2\times\:7\:-\:5}$ 的結果是多少？

首先計算乘法，然後是減法。$\mathrm{2\times\:7\:-\:5\:=\:14\:-\:5\:=\:9}$

5. 在算術表示式中，應該先計算指數形式的表示式還是括號中的表示式？

根據 PEMDAS 規則，應該先計算括號中的表示式，然後是指數形式的表示式。