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法律研究電力站如何在需求增加時產生更多的千瓦 (kW) 輸出？
發電站的有用輸出是千瓦 (kW) 輸出，該輸出由發電站輸送到電力供應系統。有時，發電站需要提供更多千瓦以滿足增加的電力需求。這可以透過以下兩種方法中的任何一種實現：
提高視在功率 (kVA) 容量 – 在此方法中，發電站的視在功率容量在相同的功率因數下增加，以滿足增加的千瓦需求。儘管如此，增加發電站的視在功率容量會導致額外的成本。
提高功率因數 – 在此方法中，發電站的功率因數得到改善，例如從 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 提高到 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}$，而無需增加發電站的視在功率容量來滿足增加的千瓦需求。它還會因功率因數校正裝置而導致額外的成本。
兩種方法的經濟比較
從滿足發電站增加的千瓦需求的兩種方法的定義可以看出，每種方法都涉及額外成本。因此，我們需要對這兩種方法進行經濟比較。
考慮一個額定為 S kVA 的發電站，以功率因數 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 向負載供電。眾所周知，增加的電力需求可以透過以下兩種方式之一來滿足：將功率因數從 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 提高到 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}$，保持 S kVA 不變；或者在原始功率因數 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 下提高發電站的 kVA 額定值。
提高發電站 kVA 容量的成本
參考圖中所示的功率三角形。為了滿足增加的千瓦需求，在原始功率因數 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 下增加的發電站的視在功率容量由下式給出：
$$\mathrm{增加的視在功率容量\: \mathit{\mathrm{\, =\, }DE\mathrm{\, =\, }\frac{DG}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}}\mathrm{\, =\, }\frac{BC}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}};\; \; \; \left ( \because DG\mathrm{\, =\, }BC \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 增加的視在功率容量\mathit{\mathrm{\, =\, }\frac{AC-AB}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}}\mathrm{\, =\, }\frac{AF\,\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-AD\,\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}} }{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 增加的視在功率容量 \mathit{\mathrm{\, =\, }\frac{S\left ( \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}} \right )}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}};\; \; \left ( \because AF\mathrm{\, =\, }AD\mathrm{\, =\, }S \right )}}$$
現在，假設發電站每千伏安 (kVA) 每年的成本為 x 元，那麼由於增加的視在功率容量而產生的每年成本為
$$\mathrm{由於增加的視在功率容量導致的年成本 \mathit{\mathrm{\, =\, }x元\left [ \frac{S\left ( \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}} \right )}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}} \right ] }}$$
功率因數校正裝置的成本
可以透過將功率因數從 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$ 提高到 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}$，而無需增加發電站的視在功率容量來滿足增加的千瓦需求。
參考上圖中給出的功率三角形，功率因數校正裝置需要提供的超前無功功率 (kVAR) 由下式給出：
$$\mathrm{超前無功功率 \mathit{\mathrm{\, =\, }FE\mathrm{\, =\, }CE-CF}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 超前無功功率 \mathit{\mathrm{\, =\, }AE\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{1}}-AF\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 超前無功功率 \mathit{\mathrm{\, =\, }\frac{AC}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}}\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{1}}-AF\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 超前無功功率\mathit{\mathrm{\, =\, }\frac{AF\, \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}}{\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}}\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{1}}-AF\, \mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 超前無功功率 \mathit{\mathrm{\, =\, }AF\left ( \mathrm{tan}\, \phi _{\mathrm{1}}\, \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}} \right )}}$$
$$\mathrm{\therefore 超前無功功率 \mathit{\mathrm{\, =\, }S\left ( \mathrm{tan}\, \phi _{\mathrm{1}}\, \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}} \right )}}$$
現在，假設功率因數校正裝置每千乏 (kVAR) 每年的成本為 y 元，那麼功率因數校正裝置的年成本為
$$\mathrm{功率因數校正裝置的成本\mathit{\, \mathrm{\, =\, }\, y元\, S\left ( \mathrm{tan}\, \phi _{\mathrm{1}}\, \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}} \right )}}$$
數值示例
一個發電站以其最大視在功率容量工作，功率因數為 0.75 滯後。現在需要增加其千瓦容量以滿足增加的負載需求。這可以透過以下方式實現：
安裝一個額外的發電站，成本為每千伏安 850 元，或者
透過安裝功率因數校正裝置將功率因數提高到 0.85 滯後。
為了使功率因數校正裝置的使用比增加發電站更經濟，功率因數校正裝置的最大成本（每千伏安）是多少？
解決方案
假設發電站的初始視在功率容量為 S kVA，功率因數為 $\mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{1}}$。
提高視在功率容量的成本 –
$$\mathrm{提高視在功率容量的成本 \mathit{\mathrm{\, =\, }850元\times \left [ \frac{\mathit{S}\left ( 0.85-0.75 \right )}{0.75} \right ]}}$$
$$\mathrm{提高視在功率容量的成本 \mathit{\mathrm{\, =\, }113.33元\times \mathit{S}\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( 1 \right )}$$
功率因數校正裝置的成本 –
功率因數角 $\mathrm{\phi _{1}}$ 和 $\mathrm{\phi _{2}}$ 由下式給出：
$$\mathrm{\phi _{1}\, =\, cos^{-1}\, 0.75\, =\,41.41^{\circ }\: 和\: \phi _{2}\, =\, cos^{-1}\, 0.85\, =\,31.78^{\circ }}$$
$$\mathrm{\therefore 功率因數校正裝置的成本\mathit{\, \mathrm{\, =\, }\, y元\, S\left ( \mathrm{tan}\, \phi _{\mathrm{1}}\, \mathrm{cos}\, \phi _{\mathrm{2}}-\mathrm{sin}\, \phi _{\mathrm{2}} \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow 功率因數校正裝置的成本\mathit{\, \mathrm{\, =\, }\, y元\,\times S\times \left ( \mathrm{tan\, 41.41^{\circ }\times 0.85}-\mathrm{sin\, 31.78^{\circ }}\, \right )}}$$
$$\mathrm{\therefore 功率因數校正裝置的成本\mathit{\, \mathrm{\, =\, }\, 0.223元\times y\times S\; \; \; \cdot \cdot \cdot }\left ( 2 \right )}$$
當公式 (1) 和 (2) 相等時，即證明了功率因數校正裝置每千伏安的成本能夠證明其安裝的合理性，即
$$\mathrm{113.33 \times \mathit{S}\, \mathrm{\, =\, }\, 0.223 \times \mathit{y} \times \mathit{S}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow y}\mathrm{\, =\, }\frac{113.33}{0.223}\mathrm{\, =\, }508.2元/千乏}$$
當功率因數校正裝置為理想狀態時，其千乏 (kVAR) 等於千伏安 (kVA)。因此，功率因數校正裝置的最大成本（每千伏安）為 508.2 元。
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