不相交集

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介紹

不相交集可以用於許多數學問題，尤其是在資料結構中。在集合論中，不相交集是兩個沒有共同元素的集合。換句話說，如果我們取兩個集合的交集，結果是一個空集，那麼這兩個集合就被稱為不相交集。在本教程中，我們將學習什麼是集合、不相交集以及集合不相交的條件，以及一些已解決的示例。

集合

集合是用於數學建模的元素或觀測值的集合。集合的元素可以是任何數學物件，例如數字、變數、空間中的點等。

不相交集

對於兩個集合不相交，它們的交集必須是一個空集或空集。對於兩個以上的集合，當所有集合之間的交集為空集或空集時。

不相交集之間沒有共同的元素。例如，如果有兩個集合，A = {x, y} 和 B = {p, q}。我們可以看到這兩個集合之間沒有共同的元素。我們可以取兩個集合的交集。

$$\mathrm{A ∩ B = 𝛟.}$$

因此，兩個不相交集的交集結果為空集。可以用韋恩圖表示兩個集合 X 和 Y。下圖以韋恩圖的形式表示兩個集合 X 和 Y。

集合不相交的條件

為了確定兩個集合是否不相交，我們必須找到這兩個集合的交集。因此，兩個集合不相交的條件可以表示為：

$$\mathrm{A ∩ B = 𝛟.}$$

如果有多個集合，則計算每對集合之間的交集。然後評估結果中是否存在任何非空集。如果所有結果都是空集，則該組集合稱為不相交集。

例如，假設有三個集合，例如 A= {4, 5}，B= {5, 3} 和 C= {1, 3}。

我們必須確定每對集合之間的交集。

第一對

$$\mathrm{A∩B=\{4,5\} ∩\{5,3\}.}$$

$$\mathrm{A∩B=\{5\}}$$

第二對

$$\mathrm{B∩C=\{5,3\} ∩\{1,3\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{3\}}$$

第三對

$$\mathrm{C∩A=\{1,3\} ∩\{4,5\}}$$

$$\mathrm{C∩A=Φ}$$

因此，我們可以說，在三對 A∩B、B∩C 和 C∩A 中，C 和 A 是不相交集。

互不相交集

互不相交集是指屬於同一集合的子集，但它們是不相交集。例如，設有一個集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ。因此，A 和 B 稱為互不相交集。

已解決示例

1)如果有兩個集合，P = {11, 13} 和 Q = {1, 7}，找出這些集合是否是不相交集。

答案

已知：P = {11, 13} 和 Q = {1, 7}

首先，我們檢視這些集合是否不相交。因此，計算給定集合的交集。

$$\mathrm{P∩Q=Φ}$$

我們知道，如果兩個集合之間的交集為空集，則這些集合被稱為不相交集。因此，P 和 Q 被認為是不相交集。

2)確定 A 和 B 是否是不相交集。A = {a, i, o, u} 和 B= {f, h,w,o}。

答案

已知：A = {a, i, o, u}，B= {f, h, w, o}

首先，我們檢視這些集合是否不相交。因此，計算給定集合的交集。

$$\mathrm{A∩B=\{o\}}$$

現在我們知道，對於兩個不相交集，它們之間的交集應該是一個空集。

因此，給定的集合 A 和 B 不是不相交集。

3)證明給定的集合 A、B 和 C 是否是不相交集。A = {3, 4, 7}，Y = {1, 7, 9} 和 Z = {7, 2}

答案：為了證明所有三個給定集合都是不相交集，我們必須證明每一對都是不相交集。我們必須找到 A∩B、B∩C 和 C∩A

$$\mathrm{A∩B=\{3,4,7\}∩\{1,7,9\}}$$

$$\mathrm{A∩B=\{7\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{1,7,9\}∩\{7,2\}}$$

$$\mathrm{B∩C=\{7\}}$$

$$\mathrm{C∩A=\{7,2\}∩\{3,4,7\}}$$

$$\mathrm{C∩A=\{7\}}$$

從上面的結果可以看出，每對集合之間的交集都不是空集。因此，我們可以說給定的集合 A、B 和 C 不是不相交集。

4)找出集合 X = {工作日} 和 Y = {週末} 是否是不相交集。

答案：已知

集合 X= {星期一，星期二，星期三，星期四，星期五}

集合 Y= {星期六，星期日}

我們知道，對於兩個不相交集，它們之間的交集應該是一個空集。查詢這兩個集合之間的交集。

X∩Y= {星期一，星期二，星期三，星期四，星期五} ∩ {星期六，星期日}

X∩Y= ɸ

因此，我們可以說給定的集合 X 和 Y 是不相交集。

5)確定 A 和 B 是否是不相交集，A = {2, 4, 6, 8, 10}（前 5 個正偶數的集合）和 B= {2, 3, 5, 7, 11}（前 5 個質數的集合）。

答案

已知：A = {2, 4, 6, 8, 10}，B= {2, 3, 5, 7, 11}

首先，我們檢視這些集合是否不相交。因此，計算給定集合的交集。

$$\mathrm{A ∩ B = \{2\}}$$

現在我們知道，對於兩個不相交集，它們之間的交集應該是一個空集。

因此，給定的集合 A 和 B 不是不相交集。

結論

在集合論中，不相交集是兩個沒有任何共同元素的集合。集合是用於數學建模的元素或觀測值的集合。不相交集之間沒有共同的元素。

例如，如果有兩個集合，A = {x, y} 和 B = {p, q}。兩個不相交集的交集結果為空集。如果有多個集合，則計算每對集合之間的交集。互不相交集是指屬於同一集合的子集，但它們是不相交集。設有一個集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ。因此，A 和 B 稱為互不相交集。

常見問題

1. 定義兩個不相交集之間的並集？

不相交集之間的並集是對任何兩個不相交集進行的二元運算。不相交併集是一個雙射運算。

2. 定義兩個集合不相交的條件？

如果兩個集合 P 和 Q 之間的交集結果為空集，則可以將它們稱為不相交集。A ∩ B = 𝛟。

3. 什麼是成對不相交集？

如果對於集合 X，A 和 B 是 X 的子集，使得 A ≠ B，且 A ∩ B = ϕ，則可以將兩個集合稱為成對不相交集。

4. 如何用韋恩圖表示兩個不相交集？

可以用兩個沒有共同元素的圓圈來表示兩個不相交集。