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法學二分法
介紹
二分法是一種求根方法，適用於任何已知兩個符號相反的值的連續函式。求解不同方程（如簡單方程、二次方程）和函式的根的方法有很多種。二分法是求解多項式函式根的一種方法。這種方法非常有趣。
我們首先選擇一個可能包含根的區間或範圍，然後我們進行二分，並將區間不斷細分為多個子區間，直到最終找到根。這種方法的主要思想是找到中點來找到根。二分法在世界各地有很多名稱，例如二分法、波爾查諾法等。
二分法
在這種方法中，可能的數值範圍或初始點與根或實際點之間的整個距離都被視為線段。此線段被反覆二分。這樣，包含根的數值範圍逐漸減小。讓我們考慮一個區間 x，y 和 $\mathrm{f(x)\times\:f(y)<0}$。
在這個區間內，f(x) 是連續的，並且存在另一個點 v 滿足
$$\mathrm{v\:\varepsilon\:(x,y),f(v)\:=\:0}$$
用二分法求解多項式根的過程
用二分法求根的不同步驟是
取兩個值 x，y 使得 $\mathrm{f(x)>0\:\&\:f(y)<0}$
區間減半是選擇另一個點 v 的過程，該點是 x，y 區間的中點。所以 $\mathrm{v\:=\:\frac{x\:+\:y}{2}}$
v 的值將幫助我們求解函式 f(x) 的值。
此函式的根為零。因此，方程 $\mathrm{f(x)\:=\:0}$ 將有助於求解該函式。
如果我們遇到 $\mathrm{f(v)\:\neq\:0}$ 的情況，則需要仔細檢查並設定符號。
如果 f(v) 與 f(x) 符號相同，我們將 x 替換為 v，並將 y 保持不變
如果 f(v) 與 f(y) 符號相同，我們將 y 替換為 v，並將 x 保持不變
例題
1) 多項式函式 $z\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}}$ 的根是多少？
答案：
給定函式是多項式性質的。因此，在這種情況下必須應用二分法。下表顯示了此函式的不同值。
| 1 | a | b | c | f(a) | f(b) | f(c) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | -2 | 5 | 1.5 | 6 | -15 | 7.75 (c to a) |
| 1 | 1.5 | 5 | 3.25 | 7.75 | -15 | -0.5625 (c to b) |
| 2 | 1.5 | 3.25 | 2.375 | 7.75 | -0.5625 | 4.359375 (c to a) |
| 3 | 2.375 | 3.25 | 2.8125 | 4.359375 | -0.5625 | 2.0898438 (c to a) |
| 4 | 2.8125 | 3.25 | 3.03125 | 2.0898438 | -0.5625 | 0.8115234 (c to a) |
| 5 | 3.03125 | 3.25 | 3.140625 | 0.8115234 | -0.5625 | 0.1364746 (c to a) |
| 6 | 3.140625 | 3.25 | 3.1953125 | 0.1364746 | -0.5625 | -0.210022 (c to b) |
| 7 | 3.140625 | 3.1953125 | 3.1679688 | 0.1364746 | -0.210022 | -0.036026 (c to b) |
| 8 | 3.140625 | 3.1679688 | 3.1542969 | 0.1364746 | 0.036026 | 0.0504112 (c to a) |
| 9 | 3.1542969 | 3.1679688 | 3.1611328 | 0.0504112 | -0.036026 | 0.0072393 (c to a) |
因此，我們可以說 $\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}\:=\:0;\:x\:=\:3.16227766.}$
所以，𝑥 = 3.16227766 是多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:10\:-\:x^{2}}$ 的根。
2) 多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:3\:=\:0\:,\:x\varepsilon\:[1,2]}$ 的根是多少？
答案：
給定函式是多項式性質的。因此，在這種情況下必須應用二分法。
如果我們將 (1,2) 作為 x 在函式中的值，我們得到 1 − 3 = −2；4 − 3 = 1。
下表顯示了此函式的不同值。
| 1 | a | b | c | f(a) | f(b) | f(c) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 1.5 | -2 | 1 | -0.75 (t to a) |
| 2 | 1.5 | 2 | 1.75 | -0.75 | 1 | 0.0625 (c to b) |
| 3 | 1.5 | 1.75 | 1.625 | -0.75 | 0.0625 | -0.359 (c to a) |
| 4 | 1.625 | 1.75 | 1.6875 | -0.3594 | 0.0625 | -0.1523 (c to a) |
| 5 | 1.6875 | 1.75 | 1.7188 | -01523 | 0.0625 | -0.0457 (c to a) |
| 6 | 1.7188 | 1.75 | 1.7344 | -0.0457 | 0.0625 | 0.0081 (c to b) |
| 7 | 1.7188 | 1.7344 | 1.7266 | -0.0457 | 0.0081 | -0.0189 (c to a) |
因此，我們可以說 $\mathrm{f(x)\:=\:x^{2}\:-\:3\:=\:0;\:x\:=\:1.7344.}$
這是因為在第 7 次迭代中，我們得到 [1.7266, 1.7344]。
所以，𝑥 = 1.7344 是多項式函式 $\mathrm{f(x)\:=\:5\:-\:x^{2}}$ 的根。(此處原文有誤，應為x² -3=0)
結論
二分法是一種幫助我們求解多項式函式的方法。它使我們能夠找到多項式函式的根。我們考慮一條線段，它基本上是初始點和最終點之間的距離。這基本上意味著存在兩個點構成一個區間，並且這兩個點的函式值是連續的，從圖形上來說，是一條簡單的直線。我們的任務是反覆二分這條線，直到我們找到根。這可以透過找到我們之前考慮的兩個點的中點來完成。這個中點將幫助我們求解所考慮的主函式，進而得到該函式的根。
常見問題
1. 如果我們寫 $\mathrm{f(a)\:\times\:f(b)<0}$，那麼一個人會如何理解這個表示式？
它簡單地意味著兩個完全不同的函式 f(a) 和函式 f(b) 的乘積小於零。但這只是表面的意思。如果我們深入研究，我們會看到這個表示式的另一個意思是這兩個函式必須具有相反的符號，也就是說，它們將位於同一軸的兩側。為了解釋這一點，我們知道如果我們將 ‘+’ 與 ‘+’ 相乘，我們將得到另一個正數。同樣，將 ‘-’ 和 ‘-’ 相乘會得到一個負結果。只有當函式具有相反的符號時，我們才會得到一個負的乘積，也就是說一個小於零的乘積。
2. 我們都使用了“連續函式”這個術語。但是這個表示式究竟是什麼意思？
簡而言之，連續函式是指其圖形始終為直線，而不是拋物線、雙曲線、圓形等的圖形。因此，連續函式必須始終滿足直線的方程，即 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐。如果存在任何滿足函式但不滿足直線方程的點，則該函式將被認為是不連續的。在這種情況下，它將不再是連續函式。
3. 我們能否始終使用二分法？它的約束是什麼？
不，我們不能總是使用二分法。它僅適用於多項式函式以及連續函式。
4. 我們可以在哪些領域應用二分法以獲得最佳結果？
我們可以使用二分法來求解多項式函式的根。
5. 二分法中中間項的重要性是什麼？
中間項可能是二分法中最重要的單一因素。如果沒有中間項，二分的整個概念就會完全消失，因為二分是指將一條線或一個角分成兩等份的東西。因此，二分法完全是關於反覆尋找中間項，直到我們最終找到函式的根。
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