給定連續字元對和頻率的二進位制字串


在計算機科學和數學中,二進位制字串是由一系列0和1組成的。連續字元對的和由後續字元對的和表示。例如,為了理解下面的主題,字串“11010”中後續對的總位數是1+1=2,1+0=1和0+1=1。目標是找到一個二進位制字串,該字串滿足根據這些和的頻率指定的頻率。這個問題的應用可以在資訊理論和編碼理論等領域找到。

方法

為了找到一個具有給定連續字元對和頻率的二進位制字串,我們可以使用以下方法:

方法1:暴力法

方法2:回溯法

方法3:動態規劃

方法1:暴力法

一組稱為暴力法的演算法透過徹底檢查每個可能的解決方案來解決問題,通常不使用最佳化或啟發式方法。為了獲得具有所需連續字元對和頻率的二進位制字串,暴力法包括生成所有可能的二進位制字串,然後檢查連續字元對和的頻率是否與指定的頻率匹配。

語法

這是一個使用暴力法查詢具有給定連續字元對和頻率的二進位制字串的語法

// Initialize variables
int n = length of binary string
int freq[] = array of frequencies of sums
string result = ""

// Loop through all possible binary strings of length n
for (int i = 0; i < pow(2, n); i++) {
   string binary = binary representation of i with padding of zeros to length n

   // Check if the binary string satisfies the frequency constraints
   int sumFreq[] = array of frequencies of sums for binary
   bool valid = true
   for (int j = 0; j < n - 1; j++) {
      if (sumFreq[j] != freq[j]) {
         valid = false
         break
      }
   }

   // If the binary string satisfies the frequency constraints, save it as result
   if (valid) {
      result = binary
      break
   }
}

// Print the result
print result

演算法

步驟1 - 生成所有可能的長度為n的二進位制字串。

步驟2 - 確定每個二進位制字串的相鄰字元對的和。

步驟3 - 檢查這些和的頻率是否與指定的頻率匹配。

步驟4 - 如果找到匹配項,則返回二進位制字串。

步驟5 - 如果未找到匹配項,則返回“未找到二進位制字串”。

示例1

這是一個實現暴力法以查詢長度為n且具有給定連續字元對和頻率的二進位制字串的C++程式碼示例:

這些實現的 `generate_binary_strings` 函式將一個用於儲存結果的向量 (results)、所需的連續對和的頻率 (freq) 和二進位制字串的長度 (n) 作為輸入。它使用從 0 到 2n-1 的整數的巢狀迴圈來構造所有可能的長度為 n 的二進位制字串。然後,它檢查每個字串是否滿足指定的頻率和沒有兩個連續字元可以為 1 的限制。如果字串滿足這些要求,則將其新增到 results 向量中。在名為 main 函式的函式中構造一個二進位制字串,然後將其寫入或顯示在螢幕上。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void generate_binary_strings(int n, int freq, vector<string>& results) {
   for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {
      string s(n, '0');
      int count = 0;
      for (int j = 0; j < n-1; j++) {
         if (i & (1 << j)) {
            s[j] = '1';
            count++;
         }
      }
      if (count == freq) {
         bool valid = true;
         for (int j = 0; j < n-1; j++) {
            if (s[j] == '1' && s[j+1] == '1') {
               valid = false;
               break;
            }
         }
         if (valid) {
            results.push_back(s);
         }
      }
   }
}

int main() {
   int n = 4; // length of binary strings
   int freq = 2; // desired frequency of sums of consecutive pairs
   vector<string> results;
   generate_binary_strings(n, freq, results);
   cout << "Binary strings of length " << n << " with frequency " << freq << ":" << endl;
   for (const auto& s : results) {
      cout << s << endl;
   }
   return 0;
}

輸出

Binary strings of length 4 with frequency 2:
1010
1010

方法2:回溯法

回溯是一種強大的演算法技術,常用於解決組合問題。找到具有特定連續字元對和頻率的二進位制字串就是這些問題之一。在這個問題中,給定兩個整數 n 和 k,分別表示二進位制字串的長度和連續字元對和的頻率。

語法

backtrack(string s, int freq[], int n, int index)
   if index == n
      return true  // base case: solution found
    
   for i = 0 to 1
      s[index] = i
      if satisfies_constraints(s, freq, index)
         if backtrack(s, freq, n, index+1)
            return true  // solution found
            
   return false  // backtrack
    
satisfies_constraints(string s, int freq[], int index)
   // check if s[0:index] satisfies the given constraints

演算法

步驟1 - 從一個長度為 n 的空字串開始。

步驟2 - 生成所有可能的包含連續字元對的長度為 n 的二進位制字串的和。

步驟3 - 使用回溯法,生成所有可能的由 0 和 1 組成的二進位制字串,確保每個和的頻率與指定的頻率匹配。

步驟4 - 如果找到有效的二進位制字串,則返回它。

步驟5 - 如果找不到合適的二進位制字串,則返回“未找到二進位制字串”。

此方法的時間複雜度在最壞情況下可能為 O(2n),具體取決於需要驗證多少個有效的二進位制字串。

示例2

`backtrack` 函式將長度為 n 的向量 `freq` 作為輸入,該向量表示長度為 n 的二進位制字串的連續字元對和的所需頻率,該向量將包含正在構造的二進位制字串,一個整數 `pos` 表示正在構造的二進位制字串中的當前位置,以及一個整數 `sum` 表示前兩個字元的和 (o)。

在示例的 `main` 函式中,我們構建一個名為 `freq` 的頻率向量,並使用它來呼叫 `findBinaryStringWithFrequencies`。如果找到有效的二進位制字串,則將其報告到控制檯。如果沒有,則顯示失敗訊息。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool backtrack(vector<int>& freq, string& binary, int pos, int sum) {
   if (pos == binary.length()) {
      return true;
   }

   for (int i = 0; i <= 1; i++) {
      int new_sum = sum + (i * (pos > 0 ? binary[pos-1] - '0' : 0));
      if (freq[new_sum] > 0) {
         freq[new_sum]--;
         binary[pos] = '0' + i;
         if (backtrack(freq, binary, pos+1, new_sum)) {
            return true;
         }
         freq[new_sum]++;
      }
   }

   return false;
}

string findBinaryStringWithFrequencies(vector<int> freq) {
   int n = freq.size();
   string binary(n, '0');
   if (backtrack(freq, binary, 0, 0)) {
      return binary;
   } else {
      return "";
   }
}

int main() {
   vector<int> freq = {1, 2, 1, 0, 0, 1};
   string binary = findBinaryStringWithFrequencies(freq);
   if (binary.empty()) {
      cout << "No binary string found." << endl;
   } else {
      cout << "Binary string: " << binary << endl;
   }
   return 0;
}

輸出

No binary string found.

方法3:動態規劃

動態規劃是計算機科學中一種眾所周知的技術,用於透過將最佳化問題分解成較小的子問題,然後從這些子問題的解構造主問題的解來解決最佳化問題。動態規劃的一個應用是生成具有預定連續字元對和頻率的二進位制字串。

語法

上面動態規劃方法的虛擬碼如下:

Function finds binary string(frequencies):
   N = length of binary string
   k = maximum sum of consecutive pairs of characters that need to be achieved
   YT[N+1] [k+1] = 0
   YT [0][0] = 1
   for L in interval (1, N+1):
      for P in interval(k+1):
         for prep in {0, 1}:
         if j - prep >= 0:
         YT[L][P] += YT[L-1] [P-prep]
   answer = 0
   for P in interval(k+1):
      if frequency[P]!= -1:
         answer += YT[N][P] * frequency[P]
   return answer.

在上面的虛擬碼中,`frequencies` 引數是一個大小為 k+1 的列表,其中第 i 個元素表示連續字元對和等於 i 的頻率。如果未給出特定和的頻率,則相應的頻率值將為 -1。該函式返回滿足給定頻率約束的二進位制字串的數量。

演算法

步驟1 - 建立一個包含 n+1 個元素的 dp 陣列,並將其初始化為 0。

步驟2 - 對於連續對字元的每個可能的和,遞增 dp 陣列中匹配的條目。

步驟3 - 使用動態規劃查詢所有可能的包含 0 和 1 的混合的二進位制字串,確保每個和的頻率與指定的頻率匹配。

步驟4 - 如果找到有效的二進位制字串,則返回它。

步驟5 - 如果找不到合適的二進位制字串,則返回“未找到二進位制字串”。

此方法的時間複雜度取決於必須驗證的有效二進位制字串的數量,但在某些情況下它可能比之前的技術更快。

示例3

一個使用動態規劃處理查詢具有指定連續字元對和頻率的二進位制字串問題的示例。

在這個版本中,長度為 i 的二進位制字串的數量,其中包含 j 對連續的 1 和 k 對連續的 0,儲存在一個名為 `dp[i][j][k]` 的三維 DP 陣列中。從 i = 1 的基本情況開始,我們使用遞迴關係來計算 i = 2 到 n 的 DP 陣列。根據這個關係,長度為 i 的二進位制字串的總數,其中包含 j 個連續的 1 對和 k 個連續的 0 對,等於之前步驟中包含 j 個連續的 1 對和 k 個連續的 0 對的字串的總和 (dp[i-1][j][k])。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to find the binary string
string binaryStringWithFrequencies(int n, int freq0, int freq1, int freq2) {
   string ans = "";
    
   // DP array to store the number of strings
   // with a given frequency of sums
   vector<vector<vector<int>>>dp(n + 1, vector<vector<int>>(freq1 + 1, vector<int>(freq2 + 1)));
    
   // Initialize DP array for base cases
   dp[1][0][0] = 1;
   if(freq1 > 0) dp[1][1][0] = 1;
   if(freq2 > 0) dp[1][0][1] = 1;
    
   // Compute DP array for remaining cases
   for(int i = 2; i <= n; i++) {
      for(int j = 0; j <= freq1; j++) {
         for(int k = 0; k <= freq2; k++) {
            if(j + k > i) break;  // No possible string with sum of consecutive pairs > i
            dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
            if(j > 0) dp[i][j][k] += dp[i-1][j-1][k];
            if(k > 0) dp[i][j][k] += dp[i-1][j][k-1];
         }
      }
   }
    
   // Trace back the DP array to find the binary string
   int j = freq1, k = freq2;
   for(int i = n; i >= 1; i--) {
      if(j > 0 && dp[i-1][j-1][k] > 0) {
         ans += '1';
         j--;
      }
      else {
         ans += '0';
         k--;
      }
   }
    
   // Reverse the string to get the correct order
   reverse(ans.begin(), ans.end());
    
   // Return the binary string
   return ans;
}

// Driver code
int main() {
   int n = 5;
   int freq0 = 2, freq1 = 1, freq2 = 1;
   string ans = binaryStringWithFrequencies(n, freq0, freq1, freq2);
   cout << ans << endl;  // Output: 00110
   return 0;
}

輸出

00001

結論

最後,需要注意的是,查詢具有特定連續字元對和頻率的二進位制字串是一個具有挑戰性的問題,需要仔細考慮。透過使用數學方法和演算法(如線性規劃),可以有效地解決這個問題並生成合適的二進位制字串。然而,問題的難度隨著輸入大小的增加而增加,找到最佳解可能需要大量的計算能力。但是,透過使用適當的方法和工具,可以有效地處理這個問題並獲得所需的二進位制字串。

更新於:2023年7月31日

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