貝爾定理 - 解釋、貝爾不等式、局域實在論

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介紹

貝爾定理是現代科學和哲學中一個非常有趣的概念。量子力學的奇特領域通常很複雜，有時甚至無法計算。更重要的是，研究量子力學往往將我們引向科學與哲學之間的介面。你可能不知道，這兩個主題密切相關。你可能會感興趣的是，物理學中一些最突出的悖論是由哲學家而不是物理學家或科學家提出的。“阿基里斯與烏龜”就是一個著名的例子。

另一個在某種程度上彌合哲學和科學差距的概念是通常所說的貝爾定理。該定理由約翰·斯圖爾特·貝爾於1964年提出。有多種方法可以陳述這個定理，但我能找到的最簡單的句子如下：

“沒有任何局域隱變數的物理理論能夠完全再現量子力學的所有預測。”

有趣的是，你應該理解，貝爾定理只討論局域隱變數的理論。也就是說，也許在這個世界上存在隱變數。貝爾定理說的是，一個使用局域隱變數的理論不可能與量子力學的預測並存。在這篇文章中，我們將詳細討論貝爾定理。

貝爾定理是什麼意思？

量子力學認為，測量行為迫使系統採取某種立場。例如，在你測量亞原子粒子的位置之前，它的位置可以是任何東西。它甚至可能不存在！然而，當你進行“測量”時，所討論的粒子“獲得”了你正在測量的屬性。請注意此處“測量”用引號括起來。我之所以這樣做，是因為你不能用尺子或GPS追蹤來“測量”電子的位置。在這種情況下，測量可能意味著計算、觀察或任何其他能讓你得到你想要答案的行為。

現在，在這個階段，你可能在想這怎麼可能說得通？由於測量行為，粒子如何才能神奇地“獲得”關於你正在測量的屬性的資訊？事實證明，愛因斯坦也對此想法表示懷疑，並在1935年與鮑里斯·波多爾斯基和內森·羅森合寫的一篇論文中，他提出系統中存在“隱變數”。引用愛因斯坦的話：

“我喜歡認為即使我不看月亮，月亮也存在。”

這就是貝爾定理的用武之地。他的定理表明愛因斯坦提出的觀點並非總是正確的。如果存在局域隱變數，那麼在某些情況下，我們將達到與已建立的量子物理學預測相矛盾的階段。

貝爾定理公式

在數學上，也有多種方法可以陳述貝爾定理。然而，從最基本的意義上來說，我們可以說：

$$\mathrm{P(X=Y)+P(Y=Z)+P(Z=X)≥1}$$

這裡，X、Y和Z是能取±1值的隨機變數。也就是說，它們是三個彼此不影響的測量的可能結果。

什麼是貝爾不等式？

在數學上，貝爾定理是一個我們稱之為貝爾不等式的不等式。

$$\mathrm{P(X=Y)+P(Y=Z)+P(Z=X)≥1}$$

現在，記住貝爾證明了這個不等式是正確的。但是，如果你使用邏輯計算，或者試圖找到你在現實世界中觀察到的事件的機率，你將遇到無法滿足這個不等式的情況。

有趣的是，沒有人知道為什麼會發生這種情況。對於為什麼貝爾不等式並不總是成立，沒有確切的答案。然而，貝爾定理本身明確了一件事：如果存在局域隱變數，它們將無法滿足量子力學的所有預測。也許是一些，但決不是全部。

什麼是局域實在論？

局域實在論是經典力學所滿足的原理，它包含兩個原理：

局域性

局域性意味著，為了發生某種物理變化，必須發生某種物理作用。例如，如果你想做一個衣櫥，你必須物理地把它的牆壁和門釘到位。在一個局域宇宙中，你不能在不進行物理作用（即接觸）的情況下引起物理變化。

實在論

當我們談論實在論時，我們的意思是說所討論的宇宙“真實地”客觀存在於我們的思想之外。無論我們是否正在觀察它、觸控它或改變它，宇宙都存在。

現在，將這個原理與我們一開始討論的量子力學進行比較。我們說“測量行為迫使系統採取某種立場”。因此，量子力學在局域實在論的原則之外運作。

結論

在量子力學的奇特世界中，科學和哲學常常糾纏在一起。貝爾定理是這種趨勢的一個顯著例子。要理解貝爾定理，就必須理解量子力學是如何運作的。

根據量子原理，系統的屬性並不存在於觀察的背景之外。相反，當我們進行測量時，我們迫使系統獲得或假設我們正在測量的屬性的某個值。在一篇論文中，愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基和內森·羅森提出，這一假設是不合理的，我們必須在系統中有一些隱變數。約翰·斯圖爾特·貝爾在1964年對這一想法進行了推演，並得出了一個反駁隱變數必要性的定理。簡單來說，它指出，一個相信局域隱變數的理論將無法滿足量子物理學的所有要求。也就是說，在某些情況下，局域隱變數的存在將與量子力學的預測相矛盾。

局域實在論的概念與貝爾定理的研究密切相關。局域實在論是經典力學而非量子力學所滿足的原理。它包含兩個思想，即局域性和實在論。也就是說，物理變化需要物理接觸或資訊不能比光在自由空間中傳播的速度更快，並且宇宙客觀存在於我們的思想之外。

常見問題

Q1. 為什麼貝爾定理很重要？

A1. 貝爾定理證明量子力學違背了局域實在論的原理，因此，它是支援量子力學觀點的重要證據。

Q2. 局域變數是什麼意思？

A2. 局域性意味著變數不會受到遠處事件的瞬時影響。任何變化或“原因”的資訊都以光速傳播，“效應”只有在傳播所涉及的延遲之後才能看到。

Q3. 貝爾定理是否使量子力學失效？

A3. 不會。貝爾定理只是說，一個相信局域隱變數的理論無法滿足量子力學的預測。因此，要麼存在隱變數，要麼量子力學為我們預測的是正確的。但兩者不可能同時為真。

Q4. 隱變數是否存在？

A4. 不存在。目前已被證明是正確的理論是量子力學。各種實驗已經反駁了局域變數的存在。

Q5. 給出一個可以用來分析貝爾定理的實驗例子。

A5. 如果我們測量光子的可能偏振態，我們可以分析貝爾定理的預測。